Mathematische Grundlagen

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt Vektorraum über K, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• (V, +, 0) ist eine abelsche Gruppe   und
• es ist eine Verknüpfung  ·  : K × V → V  definiert mit folgenden Eigenschaften:
  • Wenn 1 das Einselement von K ist, so gilt für alle v ∈ V
    • 1·v  =  v,
  • für alle j, k ∈ K und v ∈ V gilt
    • (j + k)·v  =  j·v + k·v     und
    • (j·k)·v  =  j·(k·v),
  • für alle k ∈ K und u, v ∈ V gilt
    • k·(u + v)  =  k·u + k·v.

Beispiel:  Die Menge der Paare (a, b) mit a, b ∈ K ist ein Vektorraum über K, d.h. V = K × K.

Hierbei sind die Addition in V und die Multiplikation zwischen K und V komponentenweise definiert:

(a, b) + (c, d)  =  (a+c, b+d)     und

k·(a, b)  =  (k·a, k·b)

für alle (a, b), (c, d) ∈ V sowie k ∈ K. Der Nullvektor ist (0, 0).

Allgemein ist auch Kⁿ ein Vektorraum über K, also z.B. ℝ³ über ℝ oder 𝔹ⁿ über 𝔹.

Ferner ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus K ein Vektorraum über K.

Die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge M in K ist ein Vektorraum über K.

Satz:  (Rechenregeln in V)

Es gilt für alle v ∈ V und k ∈ K:

0·v  =  0,

k·0  =  0,

(-1)·v  =  -v.

Beweis:  Es gilt

0·v  =  (0+0)·v  =  0·v + 0·v| -(0·v)

0  =  0·v

Ebenso gilt

k·0  =  k·(0+0)  =  k·0 + k·0| -(k·0)

0  =  k·0

Definition:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt Unterraum oder Teilraum von V, wenn gilt

u + v  ∈  U   für alle u, v ∈ U,

k·u  ∈  U   für alle u ∈ U, k ∈ K.

Beispiel:  Die Menge aller Paare (a, 0) bildet einen Unterraum von ℝ². Die Menge aller Polynome vom Grad  ≤ 3 ist ein Unterraum des Vektorraums aller Polynome.

Definition:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Ein Vektor u heißt Linearkombination von T, wenn es endliche viele Vektoren v₁, ..., v_m ∈ T und Koeffizienten k₁, ..., k_m ∈ K,  m ∈ ℕ₀ gibt mit

u  =  k₁·v₁ +  ... + k_m·v_m.

Die Menge aller Linearkombinationen von T wird als das Erzeugnis ⟨T⟩ von T bezeichnet.

Beispiel:  Der Vektor (3, 5) ∈ ℝ² ist eine Linearkombination von T = {(1, 0),  (0, 1)}, denn

(3, 5)  =  3·(1, 0) + 5·(0, 1).

Tatsächlich wird sogar ℝ² von T erzeugt

ℝ²  =  ⟨T⟩,

denn jeder Vektor (a, b) ∈ ℝ² ist Linearkombination von T:

(a, b)  =  a·(1, 0) + b·(0, 1).

Satz:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis ⟨T⟩ ein Teilraum von V.

Beweis:  Es ist zu zeigen, dass ⟨T⟩ hinsichtlich Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Seien u, v ∈ ⟨T⟩. Dann sind u und v Linearkombinationen von T :

u  =  j₁·u₁ +  ... + j_m·u_m     mit   u_i ∈ T,   j_i ∈ K,

v  =  k₁·v₁ +  ... + k_n·v_n    mit   v_i ∈ T,   k_i ∈ K.

Damit ist aber auch u + v Linearkombination von T und damit Element von ⟨T⟩:

u + v  =  j₁·u₁ +  ... + j_m·u_m + k₁·v₁ +  ... + k_n·v_n.

Gleiches gilt für k·u mit k ∈ K:

k·u  =  (k·k₁)·u₁ +  ... + (k·k_m)·u_m.

Definition:  Sei T eine Teilmenge eines Vektorraums V über einem Körper K. Die Menge T heißt linear abhängig, wenn der Nullvektor als Linearkombination von T dargestellt werden kann, wobei mindestens ein Koeffizient k_i ungleich 0 ist.
D.h. es gibt Vektoren v₁, ..., v_m ∈ T und Koeffizienten k₁, ..., k_m, wobei m ∈ ℕ und mindestens ein k_i ≠ 0, sodass

0  =  k₁·v₁ +  ... + k_m·v_m.

Eine Menge von Vektoren, die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Beispiel:  Die Menge {(1,0), (0,2), (2,3)} ⊆ ℝ² ist linear abhängig, denn der Nullvektor hat die Darstellung

0  =  2·(1,0) + 1.5·(0,2) – 1·(2,3).

Bemerkung:  Die leere Menge ist linear unabhängig, denn es gibt keine Vektoren in der leeren Menge, durch die sich der Nullvektor darstellen lässt. Dagegen ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.

Definition:  Sei V ein Vektorraum. Eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V. Die Mächtigkeit von B heißt Dimension von V:

dim(V)  =  |B|.

Beispiel:  Die Menge B = {(1,0), (0,1)} ist Basis von ℝ², d.h. ℝ² hat die Dimension 2.

Die Menge {x⁰, x¹, x², x³, ... } ist Basis des Vektorraums K[x] aller Polynome über einem Körper K. Somit ist dim(K[x]) = ∞.

Bemerkung:  Stets ist {0}, die Menge, die nur aus dem Nullvektor besteht, ein Vektorraum. Die leere Menge ist Basis dieses Vektorraums, d.h. seine Dimension ist 0.

Satz:  Sei B eine Basis eines Vektorraums V über K. Dann lässt sich jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination von Basisvektoren darstellen, d.h. B erzeugt V:

V = ⟨B ⟩.

Beweis:  Sei v ∈ V. Gilt v = b_i für einen der Basisvektoren, so ist dieses die Darstellung. Ist v nicht in B enthalten, so ist B ∪ {v} linear abhängig, denn B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

Der Nullvektor lässt sich also als Linearkombination von B ∪ {v} darstellen, wobei mindestens ein Koeffizient k_i ungleich 0 ist. Insbesondere muss der Koeffizient von v ungleich 0 sein, denn mit den Basisvektoren allein lässt sich der Nullvektor nicht darstellen. D.h. es gibt Basisvektoren b₁, ..., b_m,  m ∈ ℕ₀ mit

0  =  k₀·v + k₁·b₁ +  ... + k_m·b_m.

Da k₀ ≠ 0, lässt sich v darstellen als

v  =  -k₁/k₀·b₁ –  ... – k_n/k₀·b_n.

Definition:  Sei V ein Vektorraum über K. Eine Verknüpfung · : V × V → K heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

für alle u, v, w ∈ V und k ∈ K.

Definition:  In Kⁿ ist das Skalarprodukt definiert als

u · v   =    _{i = 1, ..., n}    u_i·v_i

für alle u, v ∈ Kⁿ.

Fasst man u und v als 1 × n-Matrizen auf, so entspricht das Skalarprodukt u · v dem Matrixprodukt u · v^T.

Beispiel:  Sei V = ℝ³,   u = (1 2 0),   v = (3 4 5).  Dann ist

u · v   =   1·3 + 2·4 + 0·5   =   11.

Sei V = 𝔹⁵,   u = 1 0 0 1 1,   v = 1 0 1 1 0.  Dann ist

u · v   =   1·1 ⊕ 0·0 ⊕ 0·1 ⊕ 1·1 ⊕ 1·0   =   0.

Satz:  (Rechenregeln für das Skalarprodukt)

Es gilt für alle u, v ∈ V

(-u)·v  =  -(u·v)     und

0·v  =  0.

Die zweite Regel besagt, dass das Skalarprodukt zwischen dem Nullvektor und einem beliebigen Vektor v den Skalar 0 ergibt.

Beweis:  

Definition:  Sei V ein Vektorraum, in welchem ein Skalarprodukt definiert ist. Zwei Vektoren x und y heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist:

u ⊥ v  ⇔  u · v = 0.

Beispiel:  Sei V = ℝ²,   u = (1 2),   v = (-2 1).  Dann ist

u · v   =   1·(-2) + 2·1   =   0.

Interpretiert man den ℝ² als die Menge der Ortsvektoren zu Punkten in der Ebene, so stehen orthogonale Vektoren senkrecht aufeinander.

Sei V = 𝔹ⁿ. Dann ist jeder Vektor mit einer geraden Anzahl von Einsen orthogonal zu sich selbst, z.B. u = 1 0 0 1:

u · u   =   1·1  ⊕  0·0  ⊕  0·0  ⊕  1·1   =   0

Definition:  Ein Vektor v ∈ V heißt orthogonal zu einem Teilraum U von V, wenn v zu allen Vektoren von U orthogonal ist.

Satz:  Die Menge der zu einem Teilraum U orthogonalen Vektoren bildet einen Teilraum U^⊥ von V.

Ist dim(V) = n und dim(U) = k, so ist dim(U^⊥) = n – k.