Mathematische Grundlagen

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Abbildung  p : K → K mit

p(x)  =  a_n-1x^n-1 + . . . + a₀x⁰

für alle x ∈ K,  wobei n ∈ ℕ,  a_i ∈ K,  heißt Polynom über K.¹)

 

Die Zahlen a_i heißen Koeffizienten von p. Sind alle Koeffizienten Null, d.h. gilt a_i = 0 für alle i ∈ ℕ₀, so heißt das Polynom p das Nullpolynom.

 

Der Grad des Polynoms p ist die höchste in p vorkommende Potenz von x, d.h. es ist

Die Menge der Polynome über K wird als K[x] bezeichnet.

Beispiel:  Wir betrachten Polynome über ℝ, d.h. es ist K = ℝ, der Körper der reellen Zahlen.

p₁  =  1.5x³ – 0.67x² + x + 6

p₂  =  x⁴ + x² + 1

p₃  =  0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ – 12x² – 0.5x + 4

p₄  =  3

p₅  =  0

Das Polynom p₁ hat die Koeffizienten 1.5, -0.67, 1 und 6; der Grad von p₁ ist 3, weil x³ die höchste Potenz in p₁ ist.

In p₂ sind die Koeffizienten von x³ und x gleich Null.

Der Grad von p₃ ist 2, weil die Koeffizienten der höheren Potenzen von x gleich Null sind.

Jedes Element a des Körpers lässt sich als Polynom ax⁰ auf­fassen, hier p₄ = 3x⁰.

p₅ ist das Nullpolynom.

Satz:  Seien f und g Polynome, g ≠ 0. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung

f  =  q · g + r   mit   grad(r)  <  grad(g)

d.h. das Polynom r ist der Rest bei Division von f durch g, das Polynom q ist der Quotient.

Beispiel:  Seien   f  =  6x³ + 7x² + 6x + 4   und   g  =  2x² + x + 1. Dann ergibt sich bei Division von f durch g der Quotient   q  =  3x + 2  und der Rest   r  =  x + 2.