Grundlagen

Matrix

Definition: Sei K ein Körper. Eine m×n-Matrix über K ist eine Abbildung A : {1, ..., m} × {1, ..., n} → K.

Eine m × n-Matrix A wird in folgender Form geschrieben

A = [a_i,j] =

`a`_1,1	. . .	`a`_1,n


`a`_m,1	. . .	`a`_m,n

Die Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Die Einträge der Matrix sind die Elemente a_i,j ∈ K (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n).

Die Schreibweise A = [a_i,j] bedeutet, dass A eine Matrix ist, die aus den Einträgen a_i,j mit i = 1, ..., m, j = 1, ..., n besteht. Hierbei müssen m und n aus dem Zusammenhang bekannt sein.

Die i-te Zeile von A ist der Zeilenvektor A_i,• , die j-te Spalte ist der Spaltenvektor A_{•, j} . Man beachte die Stellung des Punktes im Index, an der zu erkennen ist, ob ein Zeilen- oder Spaltenvektor gemeint ist.

Ein Zeilenvektor lässt sich auch als 1×n-Matrix auffassen, ein Spaltenvektor als m×1-Matrix.

Beispiel: Folgende Matrix A ist eine 2×3-Matrix über ℝ :

A =

-1	2	0
0	3	4

Die Zeilenvektoren von A sind A_1,• = [ -1 2 -0 ] und A_2,• = [ 0 3 -4 ], die Spaltenvektoren sind

A_•,1 =

-1

A_•,2 =

A_•,3 =

Um mit Matrizen rechnen zu können, definieren wir die Addition von Matrizen, die Multiplikation zwischen einem Element des Körpers K und einer Matrix und später auch die Multiplikation von Matrizen. Dabei wird auf die Rechenoperationen des zugrunde liegenden Körpers K zurückgegriffen.

Definition: Seien A und B zwei m×n-Matrizen. Die Addition geschieht komponentenweise:

[a_i,j] + [b_i,j] = [a_i,j+b_i,j]

Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Element c ∈ K geschieht ebenfalls komponentenweise, d.h. indem jedes Matrixelement mit c multipliziert wird:

c·[a_i,j] = [c·a_i,j]

Beispiel:

A =

-1	2	0
0	3	4

A + A =

-2	4	0
0	6	8

2·A =

-2	4	0
0	6	8

Definition:

Die Nullmatrix O ist die m×n-Matrix, deren Einträge alle 0 sind:

O =

0	. . .	0

0	. . .	0

Satz: Sei K ein Körper sowie m, n ∈ ℕ. Dann ist die Menge K^(m,n) aller m×n-Matrizen über K ein Vektorraum über K.

Die Zahlen m und n müssen fest sein, da nur Matrizen gleicher Größe addiert werden können.

Definition: Sei A eine m × n-Matrix und B eine n×p-Matrix. Das Produkt von A und B ist die m×p-Matrix C = [c_i,j] mit

c_i,j = Summe _{k=1, ..., n} a_i,k · b_k,j

Jeder Eintrag c_i,j ergibt sich also als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem j-ten Spaltenvektor von B, d.h. es gilt

c_i,j = A_i,• · B_{•, j}

Bild 1 zeigt schematisch, wie das Element c_i,j berechnet wird.

Bild 1: Berechnung eines Elements ci,j

Bild 1: Berechnung eines Elements c_i,j

Die Multiplikation zwischen einer m×n-Matrix A und einem Spaltenvektor u der Länge n lässt sich auffassen als Matrixmultiplikation zwischen einer m×n- und einer n×1-Matrix. Das Ergebnis ist ein Spaltenvektor v der Länge m (Bild 2a).

Die Multiplikation zwischen einem Zeilenvektor u der Länge m und einer m×n-Matrix A und lässt sich auffassen als Matrixmultiplikation zwischen einer 1×m- und einer m×n-Matrix. Das Ergebnis ist ein Zeilenvektor v der Länge n (Bild 2b).

Matrix-Vektor-Multiplikation

Bild 2: Matrix-Vektor-Multiplikation Au = v bzw. uA = v

Die Multiplikation zwischen einem Zeilenvektor u der Länge n und einem Spaltenvektor v gleicher Länge lässt sich auffassen als Matrixmultiplikation zwischen einer 1×n- und einer n×1-Matrix. Das Ergebnis ist eine 1×1-Matrix bzw. ein Skalar s; die Berechnung entspricht der Bildung des Skalarprodukts (Bild 3a).

Die Multiplikation zwischen einem Spaltenvektor u der Länge m und einem Zeilenvektor v der Länge n lässt sich auffassen als Matrixmultiplikation zwischen einer m×1-Matrix und einer 1×n-Matrix. Das Ergebnis ist eine m×n-Matrix A (Bild 3b).

Bild 3: Vektor-Vektor-Multiplikation

Gelegentlich wird auch eine komponentenweise Multiplikation von Vektoren gleicher Länge benötigt. Diese wird mit dem Zeichen ⊙ notiert.

Beispiel: Es ist

[1 2 3] ⊙ [2 3 4] = [2 6 12]

Definition: Sei A = [a_i,j] eine m×n-Matrix. Die n×m-Matrix B mit

[b_i,j] = [a_j,i]

wird als die Transponierte A^T von A bezeichnet; d.h. A^T entsteht aus A, indem die Zeilen von A zu den Spalten von A^T gemacht werden.

Beispiel:

A =

-1	2	0
0	3	4

A^T =

-1	0
2	3
0	4

Aus einem Zeilenvektor wird durch Transposition ein Spaltenvektor und umgekehrt.

Definition: Eine n×n-Matrix wird als quadratische Matrix bezeichnet. Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A^T gilt. Die Elemente a_i,i einer quadratischen Matrix heißen Diagonalelemente. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente außer möglicherweise den Diagonalelementen gleich 0 sind. Eine Diagonalmatrix heißt Einheitsmatrix, wenn alle Diagonalelemente gleich 1 sind.

Beispiel: Es seien

A =

-1	2	0
2	3	4
0	4	-5

D =

-1	0	0
0	0	0
0	0	4

I =

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Alle Matrizen sind quadratisch, A ist symmetrisch, D ist Diagonalmatrix, I ist Einheitsmatrix.

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Created: 22.08.2000 Updated: 11.02.2023
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