Mathematische Grundlagen

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊆ G heißt Untergruppe von G, wenn (H,  • , e) eine Gruppe ist.

Beispiel:  Die Menge der geraden Zahlen ist eine Untergruppe von (ℤ, +, 0).

Satz:  (Unter­gruppen­kriterium für endliche Gruppen)

Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe. Dann bildet jede nichtleere Teilmenge H ⊆ G, die unter der Verknüpfung  •  abge­schlossen ist, eine Untergruppe von G.

Satz:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe und (H,  • , e) eine Untergruppe von G.  Dann gilt

|H|  ist Teiler von  |G|.

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe. Die k-te Potenz eines Elementes a ∈ G ist induktiv wie folgt definiert:

Es ist also a^k  =  a • ... • a  (k-mal).

Außerdem ist

a^-k  =  (a^-1)^k

wobei a^-1 das inverse Element von a ist.

Beispiel:  Sei G die (unendliche) Gruppe (ℤ +, 0). Die Gruppe G besteht also aus der Menge der ganzen Zahlen

ℤ  =  {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

mit der Addition als Verknüpfung, der 0 als neutralem Element und den negativen Zahlen als den inversen Elementen zu den positiven Zahlen.

Indem beispiels­weise das Element a = 3 fortgesetzt mit sich selbst verknüpft wird und ebenso das inverse Element -3, und indem noch die Potenz a⁰ hinzu­genommen wird, d.h. indem also alle Potenzen (auch negative) von a gebildet werden (bei additiven Gruppen entsprechen Potenzen a^k den Vielfachen k·a), entsteht die Menge

3ℤ  =  {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

Diese Menge bildet eine (unendliche) Untergruppe von ℤ.

Statt mit a = 3 funktioniert das Ganze mit jeder anderen ganzen Zahl a ∈ ℤ. Mit a = 0 entsteht die (endliche) Untergruppe 0ℤ = {0}.

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe und a ∈ G. Die von a erzeugte Untergruppe ist

⟨a⟩  =  { a^k  |  k ∈ ℤ}.

Das Element a ist das erzeugende Element von ⟨a⟩.

Beispiel:  Die Menge ℤ₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} bildet mit der Operation +₆, der Addition modulo 6, eine Gruppe. Die Untergruppen von (ℤ₆, +₆, 0) sind

Definition:  Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem einzelnen Element erzeugt wird, d.h. wenn sie aus den Potenzen eines einzigen Elements a ∈ G besteht:

G  zyklisch  ⇔    ∃  a ∈ G   :   G  =  ⟨a⟩  =  { a^k  |  k ∈ ℤ }

Beispiel:  

Die (unendliche) additive Gruppe (ℤ, +, 0) ist zyklisch, denn sie wird von der 1 erzeugt.

Die (endliche) additive Gruppe (ℤ₆, +₆, 0) ist zyklisch, denn

ℤ₆  =  ⟨1⟩

Die multi­plikative Gruppe modulo 10 ℤ₁₀* ist zyklisch, denn

ℤ₁₀*  =  ⟨3⟩  =  { 3¹, 3², 3³, 3⁴ }  =  { 3, 9, 7, 1 }

Die Gruppe ℤ₇* ist zyklisch, denn

ℤ₇*  =  ⟨5⟩  =  { 5¹, ..., 5⁶ }  =  { 5, 4, 6, 2, 3, 1 }

Die Gruppe ℤ₁₅* ist nicht zyklisch. Jedes einzelne Element von ℤ₁₅* erzeugt eine echte Untergruppe.

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe. Die Ordnung ord(a) eines Elementes a ∈ G ist die kleinste Zahl k ∈ ℕ, für die gilt

a^k  =  e

Satz:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe und a ∈ G. Dann gilt

ord(a)  =  |⟨a⟩|

Beweis:  Sei k = ord(a), d.h. die kleinste natürliche Zahl, für die gilt a^k = e. Dann sind die von a erzeugten Elemente a¹, a², ..., a^k alle verschieden. Denn wäre a ⁱ = a ^j mit 1 ≤ i < j ≤ k, so wäre a ^j-i = e, wobei j-i < k, im Widerspruch dazu, dass k die kleinste Zahl ist mit a^k = e.

Ebenso ist klar, dass ab a^k+1 = a^k • a = e • a = a keine neuen Elemente mehr hinzukommen. Somit hat ⟨a⟩ genau k Elemente.

Satz:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe. Dann gilt für alle a ∈ G

a^|G|  =  e

Beweis:  Nach dem Satz von Lagrange und nach dem vorigen Satz gilt

|G|  =  q · |⟨a⟩|  =  q · ord(a)   für irgendein q ∈ ℕ.

Ist ord(a) = k, so ist a^k = e und

a^|G|  =  a^q·k  =  (a^k)^q  =  e^q  =  e

Satz:  Jede Untergruppe U einer zyklischen Gruppe G ist wiederum zyklisch.

Beweis:  

Wenn U = {e} ist, also nur aus dem neutralen Element von G besteht, so ist U = ⟨e⟩, wird also von e erzeugt und ist damit zyklisch. Im Folgenden sei U ≠ {e}.

Sei g ein erzeugendes Element von G. Dann sind alle Elemente von G und damit von U als Potenzen von g darstellbar.

Sei u = g^m dasjenige Element von U, das mit dem kleinsten positiven Exponenten von g darstellbar ist. Ein solches Element existiert, denn es können nicht alle Exponenten negativ sein, weil U mit g^m auch das inverse Element g^-m enthält. Und es können auch nicht alle Exponenten 0 sein, denn U ≠ {e}.

Sei nun v ein beliebiges Element von U, jedoch v ≠ e. Dann ist

v  =  g^x   oder   v  =  g^-x  =  (g^-1)^x   mit   x > 0

Sei zunächst v = g^x mit x > 0. Weil m kleinster positiver Exponent ist, gilt x ≥ m. Dann lässt sich x darstellen als x = q·m + r mit 0 ≤ r < m. Damit ist also

g^q·m + r  =  g^q·m · g^r  ∈  U

Wegen der Abgeschlossen­heit von U gilt g^q·m = (g^m)^q = u^q ∈ U und damit auch g^r ∈ U.

Da r < m gilt und m kleinster positiver Exponent ist, muss r = 0 sein. Damit gilt x = q·m und folglich

v  =  g^x  =  g^q·m  =  (g^m)^q  =  u^q

Damit ist v darstellbar als Potenz von u.

Wenn v = (g^-1)^x mit x > 0 ist, gilt mit der gleichen Argumentation, dass

v  =  (g^-1)^x  =  (g^-1)^q·m  =  g^-qm =  (g^m)^-q  =  u^-q

Alle Elemente von U, einschließ­lich e = u⁰, sind also Potenzen von u, d.h. u ist erzeugendes Element von U, und damit ist U zyklisch.

Satz:  Sei G = ⟨g⟩ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung |G| = n. Dann gilt für jede Untergruppe U der Ordnung |U| = k

U = ⟨g^n/k⟩

d.h. U ist ebenfalls zyklisch mit erzeugendem Element g^n/k. Tatsächlich ist n/k ist eine ganze Zahl, denn nach dem Satz von Lagrange ist n durch k teilbar.

Beweis:  Sei wieder wie im Beweis des vorigen Satzes u = g^m dasjenige Element von U mit dem kleinsten positiven Exponenten von g. Wie gesehen ist dieses Element ein erzeugendes Element von U. Damit besteht U aus den Elementen {g^m, g^2m, g^3m, ..., g^km = e}, wobei k die Ordnung von U ist und e das neutrale Element ist.

Satz:  Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n und g erzeugendes Element von G. Sei ferner k ∈ ℕ und d = ggt(n, k). Dann gilt

⟨g^k⟩   =   ⟨g^d⟩

und

ord(a^k)   =   n/d

Beispiel:  Es sei G = ℤ₃₁* mit der Ordnung n = 30 und erzeugendem Element g = 3. Sei k = 12 und somit d = ggt(30, 12) = 6.

Dann gilt

⟨3¹²⟩   =   3⁶

und

ord(3¹²)   =   30 / 6   =   5

Beweis:  

1. Zunächst ist ⟨g^k⟩   =   ⟨g^d⟩ zu zeigen.
   1. Wegen d | k gibt es eine Zahl r ∈ ℕ mit k = d·r. Dann gilt

      g^k  =  g^d·r  =  (g^d)^r    ⇒    ⟨g^k⟩  ⊆  ⟨g^d⟩

   2. Nach dem Lemma von Bezout ist der größte gemeinsame Teiler von n und k als ganzzahlige Linear­kombination von n und k darstellbar:

      d  =  u·n + v·k

      Damit gilt

      g^d  =  g^{u·n + v·k}  =  g^u·n · g^v·k  =  (gⁿ)^u · (g^k)^v  =  e · (g^k)^v  = (g^k)^v

      und folglich

      g^d  =  (g^k)^v    ⇒    ⟨g^d⟩  ⊆  ⟨g^k⟩

      Aus der beidseitigen Inklusion der Mengen folgt

      ⟨g^d⟩  =  ⟨g^k⟩

2. Als nächstes ist ord(a^k)   =   n / d zu zeigen.

   Wegen d | n gilt

   g^dn/d  =  aⁿ  =  e

   d.h.

   ord(g^d) ≤ n/d

   Um auszuschließen, dass ord(g^d) < n/d gilt, betrachten wir ein beliebiges i ∈ ℕ mit i < n/d bzw. d·i < n. Dann ist

   g^di  =  g^d·i  ≠  e

   denn n ist der kleinste Exponent, derart dass gⁿ = e ist. Also ist

   ord(g^d)  =  n/d

Satz:  Jede zyklische Gruppe G der Ordnung n ∈ ℕ ist zu (ℤ_n, +_n, 0), der additiven Gruppe modulo n, isomorph.

Beweis:  

Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Dann enthält G ein erzeugendes Element g. Die Ordnung ord(g) ist gleich n, d.h. n ist der kleinste positive Exponent mit gⁿ = e.

Die Abbildung

f : ℤ_n  →  G

mit

f(i)  =  gⁱ

ist ein Iso­morphismus. Denn f ist eine bijektive Abbildung und f ist verknüpfungs­treu. Zu zeigen ist hierzu im Einzelnen:

1. Jedes Element i ∈ ℤ_n hat ein Bild in G (f ist total definiert).

   Sei i ∈ ℤ_n. Dann ist f(i) = gⁱ ∈ G.

2. Wenn die Urbilder gleich sind, dann sind auch die Bilder gleich, d.h.i = j  ⇒  f(i) = f(j) (f ist eindeutig definiert).

   Seien i, j ∈ ℤ_n mit i = j. Dann gilt f(i) = gⁱ = g^j = f(j).

3. Jedes Element a ∈ G hat ein Urbild in ℤ_n (f ist surjektiv).

   Sei a ∈ G. Dann gilt a = gⁱ mit i ∈ ℤ. Denn jedes Element a ∈ G lässt sich als Potenz des erzeugenden Elements g darstellen. Sei nun i = q·n + r mit 0 ≤ r < n. Dann gilt

   gⁱ  =  g^q·n + r  =  g^q·n · g^r

   Da gⁿ = e, gilt

   gⁱ  =  g^r

   und damit ist r ∈ ℤ_n das Urbild von a:

   f(r)  =  g^r  =  gⁱ  =  a

4. Wenn die Urbilder verschieden sind, dann sind auch die Bilder verschieden, d.h.i ≠ j  ⇒  f(i) ≠ f(j) (f ist injektiv).

   Seien i, j ∈ ℤ_n mit i < j, also i + r = j mit 0 < r < n. Dann gilt

   g^i + r = gⁱ · g^r  =  g^j

   Wäre f(i)= f(j) und damit gⁱ = g^j, dann wäre durch Multi­plikation der Gleichung mit dem inversen Element von gⁱ = g^j

   g^r  =  e

   Dies kann aber nicht sein, da r > 0 und r < n, wobei jedoch n der kleinste positive Exponent ist mit gⁿ = e.

   Also gilt f(i)  ≠  f(j).

Aufgabe 1:  Zeigen Sie, dass jede zyklische Gruppe abelsch ist.