Systematische Programmentwicklung

Aufgabe 1:  (Berechnung von ln(2))

Eine schnell kon­vergierende Reihe zur Berechnung des natürlichen Logarithmus von 2 ist folgende:

 

Entwerfen Sie ein Iterations­schema für die Berechnung. Leiten Sie daraus die Iterations­gleichungen und Initialisierungen ab. Programmieren Sie eine ent­sprechende While-Schleife zur Berechnung von ln(2).

Aufgabe 2:  (Fibonacci-Zahlen)

Erstellen Sie ein Iterations­schema für die Berechnung der Fibonacci-Zahlen, das mit nur drei Variablen i, f und g auskommt.

Leiten Sie aus dem Iterations­schema die Iterations­gleichungen und Initialisierungen ab. Programmieren Sie eine ent­sprechende While-Schleife zur Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl.

Aufgabe 3:  (Berechnung des größten gemeinsamen Teilers)

Der größte gemeinsame Teiler zweier nicht­negativer ganzer Zahlen x und y lässt sich mithilfe folgender Iterations­gleichungen berechnen:

• a = b'
• b = r'
• r = a mod b

Als Initialisierung wird gesetzt:

• b = x
• r = y

Erstellen Sie das zugehörige Iterations­schema mit x = 17 und y = 5. Programmieren Sie eine ent­sprechende While-Schleife. Wie lautet die Schleifen­bedingung der While-Schleife? Welche Variable enthält zum Schluss das Ergebnis?

Fügen Sie die While-Schleife in eine Funktion ggt(x, y) ein, die den größten gemeinsamen Teiler von x und y berechnet.

Aufgabe 4:  (Quadrat­wurzel)

Die iterative Berechnung der Quadrat­wurzel a = f nach dem Verfahren von Heron beruht auf folgenden Iterations­gleichungen eines sequentiellen Iterations­schemas:

• a = (a' + b') / 2
• b = f / a

mit den Initialisierungen

• a = 1
• b = f

 

Setzen Sie diese Iterations­gleichungen in eine While-Schleife um. Brechen Sie die Iteration ab, wenn sich a und b um weniger als 10^-12 unter­scheiden.

Aufgabe 5:  (Berechnung der Sinus­funktion)

Die Sinus­funktion sin(x) lässt sich mithilfe folgender Reihe berechnen:

 

Entwerfen Sie ein Iterations­schema für die Berechnung und verwenden Sie dabei folgende Variablen:

Wie geht der jeweils nächste Summand s aus dem vorher­gehenden Summanden s' hervor?

 

Iterations­schema:

 

Leiten Sie aus dem Iterations­schema die zugehörigen Initialisierungen und Iterations­gleichungen ab. Programmieren Sie eine ent­sprechende While-Schleife zur Berechnung von sin(x). Brechen Sie die Schleife ab, wenn der neu hinzu­gekommene Summand kleiner als 10^-14 ist.