Mathematik

Das schriftliche Wurzelziehen, wie du es in der Schule lernst (die Zahl in Zweier­gruppen auf­teilen usw.), ist für den Computer zu umständlich. Der Computer rechnet anders.

Wir Menschen ermüden schnell, wenn wir immer und immer wieder dasselbe tun sollen, für den Computer dagegen ist es die Lieblings­beschäftigung! Die Rede ist von sogenannten Iterations­verfahren, also Rechen­verfahren, die eine bestimmte Berechnung so lange wiederholen, bis das Ergebnis erzielt worden ist.

Im Folgenden wird ein Iterations­verfahren zur Berechnung der Quadrat­wurzel angegeben.

Iterationsverfahren

Gegeben ist eine nicht­negative Zahl f, gesucht ist die Quadrat­wurzel f. Das folgende Iterations­verfahren wurde bereits in der Antike von Heron beschrieben.

Bei diesem Iterations­verfahren beginnst du mit einem Rechteck der Fläche f mit den Seitenlängen a = 1 und b = f. Du machst aus dem Rechteck schrittweise ein Quadrat mit der Seitenlänge f. Dabei bleibt in jedem Iterations­schritt die Fläche f des Rechtecks gleich: a · b = f.

Solange die Seiten unter­schiedlich lang sind, führst du Folgendes durch:

1. Du gleichst a an b an, wobei der neue Wert von a sich als Mittelwert von a und b ergibt:

   a = (a' + b') / 2

2. Anschließend berechnest du b neu, und zwar als

   b = f / a

Mit a' und b' sind hier die vorherigen Werte von a und b gemeint, mit a und b die im nächsten Iterations­schritt neu berechneten Werte.

Du brichst das Verfahren ab, wenn du eine ausreichende Genauigkeit erzielt hast, also z.B. wenn a und b sich um weniger als 10^-12 unter­scheiden.

Folgendes Bild zeigt die ersten Iterations­schritte des Verfahrens für ein Rechteck mit der Fläche f = 2.

Bild 1: Iterative Berechnung von 2