Mathematik

Natürliche Zahlen

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... bilden die Menge ℕ der natürlichen Zahlen.

Ganze Zahlen

Beim Rechnen in den natürlichen Zahlen ℕ tritt das Problem auf, dass die Gleichung

x + 1 = 0

keine Lösung hat. Es gibt keine natürliche Zahl, die für x eingesetzt, die Gleichung erfüllt. Erst wenn der Zahlen­bereich zu den ganzen Zahlen ℤ erweitert wird, lässt sich die Gleichung lösen: Es ist x = -1.

Im Bereich der ganzen Zahlen ℤ kann man in der gewohnten Weise addieren, subtrahieren und multi­plizieren, jedoch im Allgemeinen nicht dividieren. Die ganzen Zahlen ℤ bilden die mathe­matische Struktur eines Rings.

Rationale Zahlen

In ähnlicher Weise muss der Zahlen­bereich zu den rationalen Zahlen ℚ erweitert werden, um die Gleichung

2x – 1 = 0

lösen zu können, denn die Lösung

ist keine ganze Zahl. Im Bereich der rationalen Zahlen lassen sich die vier Grund­rechenarten in der gewohnten Weise ausführen. Die rationalen Zahlen ℚ bilden die mathe­matische Struktur eines Körpers.

Reelle Zahlen

Um die Gleichung

x² – 2 = 0

lösen zu können, muss der Zahlen­bereich wiederum zu den reellen Zahlen ℝ erweitert werden. Man kann zeigen, dass die Gleichung von keiner rationalen Zahl erfüllt wird, sondern nur von den reellen Zahlen 2 und -2.

Auch die reellen Zahlen ℝ bilden einen Körper.

Komplexe Zahlen

In den reellen Zahlen hat wiederum die Gleichung

x² + 1 = 0

keine Lösung. Erst wenn der Zahlen­bereich zu den komplexen Zahlen ℂ erweitert wird, hat die Gleichung die Lösungen

x  =  ± i.

Das Zeichen i steht für eine bestimmte Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist – genauso wie 2 für eine Zahl steht, deren Quadrat gleich 2 ist, wie 1/2 für eine Zahl steht, deren Kehrwert gleich 2 ist und wie -1 für eine Zahl steht, deren Negatives gleich 1 ist.

Auch die komplexen Zahlen ℂ bilden einen Körper.

Die komplexen Zahlen enthalten die reellen Zahlen als Teilmenge, denn jede reelle Zahl a lässt sich als komplexe Zahl a + 0i auf­fassen.