Mathematische Grundlagen

Die Gleichung x² + 1 = 0 hat die Lösung x = -1; dies ist jedoch keine reelle Zahl. Damit Gleichungen dieser Art lösbar sind, wird der Zahlen­bereich erweitert zu den komplexen Zahlen.

Die reellen Zahlen ℝ sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen ℂ, nämlich diejenigen komplexen Zahlen, deren Imaginärteil 0 ist.

Die reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf der Zahlen­geraden ver­anschaulichen, die komplexen Zahlen dagegen als Punkte in der komplexen oder gaußschen Zahlenebene. Hierbei wird eine komplexe Zahl z = a + bi als Koordinaten­paar (a, b) angesehen. Als Beispiel ist in Bild 1 die komplexe Zahl 2.5 – 3i in die komplexe Zahlenebene einge­zeichnet.

Im Folgenden werden die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen angegeben.

Addition

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) + (c + di)   =   (a + c) + (b + d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Addition komponenten­weise:

(a, b) + (c, d)   =   (a+c, b+d)

Subtraktion

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) – (c + di)   =   (a – c) + (b – d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Subtraktion komponenten­weise:

(a, b) – (c, d)   =   (a-c, b-d)

Multiplikation

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ergibt sich das Produkt durch Aus­multiplizieren:

(a + bi) · (c + di)   =   ac + adi + bci – bd   =   (ac – bd) + (ad + bc)i

Konjugierte Zahl

Offenbar gilt

z  =  z

Ferner gilt für reelle Zahlen x, also für x ∈ ℝ

x  =  x

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl lässt sich als Abstand des ent­sprechenden Punktes vom Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene deuten.

Sei z  =  a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist

|z|   =   a² + b²

der Betrag von z. Der Betrag ist eine nicht­negative reelle Zahl. Der Betrag von z ist genau dann 0, wenn z = 0 ist.

Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi lässt sich mithilfe der konjugierten Zahl z = a – bi ausrechnen. Es gilt

z · z   =   a² + b²   =   |z|²

Indem also eine komplexe Zahl mit ihrer konjugierten Zahl multi­pliziert wird, ergibt sich das Quadrat ihres Betrags. Damit ergibt sich der Betrag einer komplexen Zahl z als

|z|   =   z · z

Kehrwert

Die konjugierte Zahl spielt auch bei der Berechnung des Kehrwertes einer komplexen Zahl eine Rolle. Zunächst ist ja nicht klar, welche komplexe Zahl der Bruch

darstellt. Der Trick besteht darin, diesen Bruch mit der konjugierten Zahl des Nenners zu erweitern.

Sei z eine komplexe Zahl mit z ≠ 0. Für den Kehrwert von z gilt

Da |z|² eine reelle Zahl ist, lässt sich das Ergebnis hierdurch kürzen.

Division

Die Division lässt sich auf Multi­plikation mit dem Kehrwert zurückführen. Seien w und z komplexe Zahlen mit z ≠ 0. Dann ist

Regeln

Für x ∈ ℝ gilt x = x. Daher ergibt sich folgendes Korollar:

Mit Hilfe des ersten Satzes lässt sich folgender Satz zeigen:

Beweis:  Es ist

|w| · |z|Formel für den Betrag   =   w·w · z·z   =   w·z·w·zSatz 1   =   wz · wzFormel für den Betrag   =   |wz|

Komplexe Zahl als Exponent

Eine natürliche Zahl n als Exponent bei einer Potenz, zum Beispiel aⁿ, bedeutet ja, dass die Basis a entsprechend oft, also n-mal mit sich selbst multi­pliziert wird:

aⁿ   =   a · a · ... · a   (n-mal)

Hieraus ergeben sich die Regeln der Potenz­rechnung:

aⁿ · a^m   =   a · a · ... · a   ·   a · a · ... · a   (insgesamt n+m-mal)   =   a^n+m

Für n < m gilt

(aⁿ)^m   =   (a · a · ... · a) · ... · (a · a · ... · a)   (insgesamt n·m-mal)   =   a^n·m

Bei anderen als natürlichen Zahlen ist diese anschauliche Bedeutung nicht mehr haltbar; stattdessen wird die Bedeutung in geeigneter Weise definiert.

a⁰  =  1

a^1/2  =  a

Was aber ist a ⁱ ?

Hier geht es nicht anders, als die Potenzreihen-Entwicklung der Exponential­funktion e^x heran­zuziehen:

Mit x = i ergibt sich

Hierbei wird die Potenzreihen-Entwicklung der Kosinus- und Sinus­funktion verwendet.

Mit 2 = e^ln(2) ergibt

2 ⁱ   =  e^i·ln(2)   =   cos(ln(2)) + i·sin(ln(2))

Wenn der Exponent eine komplexe Zahl ist wie zum Beispiel 3 + 2i, dann ist

2^3 + 2i   =   2³ · 2²ⁱ   =   8 · e ^i·2·ln(2)   =   8 · (cos(2·ln(2)) + i·sin(2·ln(2)))

Polar­koordinaten

Die komplexe Zahl cos(x) + i·sin(x) liegt in der komplexen Ebene im Abstand 1 vom Nullpunkt mit einem Winkel x.

Für die komplexe Zahl a^u + iv bedeutet dies:

• Betrag:   a^u
• Winkel:   v·ln(a)