Mathematische Grundlagen

Die Gleichung x² + 1 = 0 hat die Lösung x = -1; dies ist jedoch keine reelle Zahl. Damit Gleichungen dieser Art lösbar sind, wird der Zahlenbereich erweitert zu den komplexen Zahlen.

Die reellen Zahlen ℝ sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen ℂ, nämlich diejenigen komplexen Zahlen, deren Imaginärteil 0 ist.

Die reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf der Zahlengeraden veranschaulichen, die komplexen Zahlen dagegen als Punkte in der komplexen oder gaußschen Zahlenebene. Hierbei wird eine komplexe Zahl z = a + bi als Koordinatenpaar (a, b) angesehen. Als Beispiel ist in Bild 1 die komplexe Zahl 2.5 – 3i in die komplexe Zahlenebene eingezeichnet.

Im Folgenden werden die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen angegeben.

Addition

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) + (c + di)   =   (a + c) + (b + d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Addition komponentenweise:

(a, b) + (c, d)   =   (a+c, b+d)

Subtraktion

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) – (c + di)   =   (a – c) + (b – d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Subtraktion komponentenweise:

(a, b) – (c, d)   =   (a-c, b-d)

Multiplikation

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ergibt sich das Produkt durch Ausmultiplizieren:

(a + bi) · (c + di)   =   ac + adi + bci – bd   =   (ac – bd) + (ad + bc)i

Konjugierte Zahl

Offenbar gilt

Ferner gilt für reelle Zahlen x, also für x ∈ ℝ

x  =  x

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl lässt sich als Abstand des entsprechenden Punktes vom Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene deuten.

Sei z  =  a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist

|z|   =   a² + b²

der Betrag von z. Der Betrag ist eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag von z ist genau dann 0, wenn z = 0 ist.

Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi lässt sich mithilfe der konjugierten Zahl z = a – bi ausrechnen. Es gilt

z · z   =   a² + b²   =   |z|²

Indem also eine komplexe Zahl mit ihrer konjugierten Zahl multipliziert wird, ergibt sich das Quadrat ihres Betrags. Damit ergibt sich der Betrag einer komplexen Zahl z als

|z|   =   z · z

Kehrwert

Die konjugierte Zahl spielt auch bei der Berechnung des Kehrwertes einer komplexen Zahl eine Rolle. Zunächst ist ja nicht klar, welche komplexe Zahl der Bruch

darstellt. Der Trick besteht darin, diesen Bruch mit der konjugierten Zahl des Nenners zu erweitern.

Sei z eine komplexe Zahl mit z ≠ 0. Für den Kehrwert von z gilt

Da |z|² eine reelle Zahl ist, lässt sich das Ergebnis hierdurch kürzen.

Division

Die Division lässt sich auf Multiplikation mit dem Kehrwert zurückführen. Seien w und z komplexe Zahlen mit z ≠ 0. Dann ist

Regeln

Für x ∈ ℝ gilt x = x. Daher ergibt sich folgendes Korollar:

Mit Hilfe des ersten Satzes lässt sich folgender Satz zeigen:

Beweis:  Es ist

|w| · |z|Formel für den Betrag   =   w·w · z·z   =   w·z·w·zSatz 1   =   wz · wzFormel für den Betrag   =   |wz|

Darstellungsformen komplexer Zahlen

Eigentlich ist eine komplexe Zahl nichts anderes als ein Paar (a, b) mit a, b ∈ ℝ, bestehend aus dem Realteil a und dem Imaginärteil b. Die Addition solcher Paare erfolgt einfach komponentenweise; aber die Schwierigkeit liegt in der Multiplikation.

Darstellung als Term

Daher ist es hilfreich, das Paar (a, b) als Term a + bi darzustellen – dann ergibt sich die Multiplikation von komplexen Zahlen in natürlicher Weise durch Ausmultiplizieren derartiger Terme, wobei i² = -1 gilt.

Darstellung als Matrix

Es gibt aber noch eine weitere Möglichkeit, die Multiplikation komplexer Zahlen auf Bekanntes zurückzuführen, nämlich indem das Paar (a, b) als Matrix

a -b b a

dargestellt wird. Dann ergeben sich Addition und Multiplikation komplexer Zahlen als Matrix-Addition und Matrix-Multiplikation.

Beispiel:  

Es seien u = (2, 1) und v = (3, 2) zwei komplexe Zahlen.

Dargestellt als Matrizen

u  =   2 -1 1 2

und

v  =   3 -2 2 3

ergibt sich durch Matrix-Multiplikation das Produkt

u·v  =

4 -7 7 4

Dies entspricht dem Paar (4, 7).

Der Betrag |u| der als Matrix dargestellten komplexen Zahl u ergibt sich als Wurzel aus der Determinanten

|u|  = det(u)

Die zur komplexen Zahl u konjugierte Zahl u ist die transponierte Matrix

u  =  u^T

Darstellung als Polynom

Das Paar (a, b) wird aufgefasst als Polynom

a + bx

Die Multiplikation ergibt sich dann als Polynom-Multiplikation modulo des Polynoms 1 + x².

Komplexe Zahl als Exponent

Eine natürliche Zahl n als Exponent bei einer Potenz, zum Beispiel aⁿ, bedeutet ja, dass die Basis a entsprechend oft, also n-mal mit sich selbst multipliziert wird:

aⁿ   =   a · a · ... · a   (n-mal)

Hieraus ergeben sich die Regeln der Potenzrechnung:

aⁿ · a^m   =   a · a · ... · a   ·   a · a · ... · a   (insgesamt n+m-mal)   =   a^n+m

Für n < m gilt

(aⁿ)^m   =   (a · a · ... · a) · ... · (a · a · ... · a)   (insgesamt n·m-mal)   =   a^n·m

Bei anderen als natürlichen Zahlen ist diese anschauliche Bedeutung nicht mehr haltbar; stattdessen wird die Bedeutung in geeigneter Weise definiert.

a⁰  =  1

a^1/2  =  a

Was aber ist a ⁱ ?

Hier geht es nicht anders, als die Potenzreihen-Entwicklung der Exponentialfunktion e^x heranzuziehen:

Mit x = i ergibt sich

Hierbei wird die Potenzreihen-Entwicklung der Kosinus- und Sinusfunktion verwendet.

Mit 2 = e^ln(2) ergibt

2 ⁱ   =  e^i·ln(2)   =   cos(ln(2)) + i·sin(ln(2))

Wenn der Exponent eine komplexe Zahl ist wie zum Beispiel 3 + 2i, dann ist

2^3 + 2i   =   2³ · 2²ⁱ   =   8 · e ^i·2·ln(2)   =   8 · (cos(2·ln(2)) + i·sin(2·ln(2)))

Polarkoordinaten

Die komplexe Zahl cos(x) + i·sin(x) liegt in der komplexen Ebene im Abstand 1 vom Nullpunkt mit einem Winkel x.

Für die komplexe Zahl a^u + iv bedeutet dies:

• Betrag:   a^u
• Winkel:   v·ln(a)