Mathematische Grundlagen

Definition:  Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen  (G. Cantor, 1895).

Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A.

Schreibweise:  

Beispiel:  Beispiele für Mengen sind:

{4, 5, 7}

{1, 2, 3, 4, ... }   (eine Menge mit unendlich vielen Elementen)

{ {a}, {a, b} }   (eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind)

{ } = ∅   (leere Menge)

{ ∅ }   (eine Menge, deren einziges Element die leere Menge ist)

Schreibweise:  { x  |  E(x) }   (die Menge aller x, für die E(x) gilt)

Beispiel:  

{ n  |   ∃ k ∈ ℕ : k² = n }  =  {1, 4, 9, 16, 25, ...}   (Quadratzahlen)

{ x  |  x ∈ ℕ   ∧   x  <  5 }  =  {1, 2, 3, 4}   (alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 5 sind)

{ x  |  x ≠ x }  =  ∅     (leere Menge)

Beispiel:  

{ x ∈ ℕ  |  x  <  5 }  =  {1, 2, 3, 4}

{ k²  |  k ∈ ℕ }  =  {1, 4, 9, 16, 25, ...}

Definition:  Seien A und B Mengen.

Die Vereinigung von A und B ist die Menge

A ∪ B   =   { x  |  x ∈ A   ∨   x ∈ B }.

Der Durchschnitt von A und B ist die Menge

A ∩ B   =   { x  |  x ∈ A   ∧   x ∈ B }.

Die Differenz von A und B ist die Menge

A \ B   =   { x  |  x ∈ A   ∧   x ∉ B }.

Beispiel:  

{1, 3, 5}  ∪  {1, 2, 3}  =  {1, 2, 3, 5}

{1, 3, 5}  ∩  {1, 2, 3}  =  {1, 3}

{1, 3, 5} \ {1, 2, 3}  =  {5}

Definition:  Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ gilt, d.h. wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist.

Satz:  (Rechenregeln)

Für alle Mengen A, B, C gilt:

Definition:  Seien A und B Mengen. A ist enthalten in B oder A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind:

A ⊆ B  ⇔   ∀ x : (x ∈ A  ⇒  x ∈ B).

Beispiel:  

{1, 5} ⊆ {1, 3, 5}

{2, 4, 6, 8, ... } ⊆ ℕ

{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}

Satz:  Es gelten folgende Beziehungen für alle Mengen A, B, C :

A ⊆ A,

A ⊆ B  ∧  B ⊆ A  ⇔  A = B,

A ⊆ B  ∧  B ⊆ C  ⇒  A ⊆ C

sowie

∅ ⊆ A.

Definition:  Sei G eine vorgegebene Menge und sei A ⊆ G. Dann ist

A  =  G \ A  =  { x ∈ G  |  x ∉ A }

das Komplement der Menge A.

Satz:  (Rechenregeln)

Für die Grundmenge G sowie für alle Mengen A, B ⊆ G gilt:

G  =  ∅

A  =  A

A ∪ A  =  G

A ∪ ∅  =  A

A ∪ G  =  G

Definition:  Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A:

(A)  =  { M  |  M ⊆ A}.

Beispiel:  

({1, 2, 3})  =  { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }

(∅)  =  {∅}

Definition:  Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen aus A bzw. B:

A × B  =  { (a, b)  |  a ∈ A,  b ∈ B }.

Definition:  Das kartesische Produkt dreier Mengen A, B und C ist die Menge aller geordneten Tripel von Elementen aus A, B bzw. C:

A × B × C   =   { (a, b, c)  |  a ∈ A,  b ∈ B,  c ∈ C}.

Das n-fache kartesische Produkt einer Menge A ist die Menge aller n-Tupel von Elementen aus A:

Aⁿ  =  A ×  . . .  × A   =   { (a₀, ..., a_n-1)  |  a_i ∈ A,  i = 0, ..., n-1}.

Es ist

A¹  =  A .

Aufgabe 1:  (Mengenoperationen, Teilmenge)

Beweisen Sie formal, dass für beliebige Mengen A und B gilt

A ∩ B  ⊆  A ∪ B

Hinweis: Beginnen Sie Ihren Beweis mit der Formulierung: "Sei a ∈ A ∩ B beliebig. Dann gilt..." und wenden Sie dann die Definitionen von Durchschnitt, Vereinigung und Teilmenge an.

Aufgabe 2:  (Komplement)

Beweisen Sie mithilfe der oben angegebenen Rechenregeln für Komplemente von Mengen die entsprechenden dualen Regeln. Die dualen Regeln ergeben sich, indem G und ∅ sowie  ∪  und  ∩  vertauscht werden.

Aufgabe 3:  (Potenzmenge)

Wie viele Elemente enthalten die Potenzmengen der Mengen A = {1} und B = {1, 2}?

Aufgabe 4:  (Potenzmenge)

Für die leere Menge ∅ gilt

(∅)  =  { ∅ }

Erklären Sie den Unterschied zwischen den Mengen ∅ und { ∅ }.

Aufgabe 5:  (Kartesisches Produkt)

Geben Sie das kartesische Produkt A × B der Mengen A = {1, 2} und B = {1, 2, 3} an. Überprüfen Sie, ob Ihr Ergebnis 2·3 = 6 Elemente enthält.

Aufgabe 6:  (Kartesisches Produkt)

Sei 𝔹 = {0, 1}. Geben Sie 𝔹³ an.